Вопрос 2 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы.

Пусть дана ломаная $$A_1A_2A_3\dots A_n$$.

Заменим два её звена $$A_1A_2$$ и $$A_2A_3$$ одним звеном $$A_1A_3$$. По неравенству треугольника

$$A_1A_3\le A_1A_2+A_2A_3.$$

Значит, длина новой ломаной $$A_1A_3A_4\dots A_n$$ не больше длины исходной.

Аналогично, заменяя звенья $$A_1A_3$$ и $$A_3A_4$$ звеном $$A_1A_4$$, получаем ломаную $$A_1A_4A_5\dots A_n$$, длина которой также не больше длины исходной.

Продолжая такие замены, в конце концов получим отрезок $$A_1A_n$$, соединяющий концы ломаной. Его длина не больше длины исходной ломаной, следовательно, длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы.