Вопрос 2 Параграф 12 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон $$\pm$$ удвоенное произведение одной из этих сторон на проекцию другой. От чего зависит знак $$+$$ или $$-$$?

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник. Опустим из вершины $$C$$ высоту $$CD$$ на прямую $$AB$$. Тогда $$AD$$ — проекция стороны $$AC$$ на прямую $$AB$$.

Рассмотрим два случая.

1. Если $$\angle A<90^\circ$$, то точка $$D$$ лежит на отрезке $$AB$$. В прямоугольном треугольнике $$ADC$$

   $$\cos \angle A=\frac{AD}{AC},$$

   откуда

   $$AD=AC\cdot \cos \angle A.$$

2. Если $$\angle A>90^\circ$$, то точка $$D$$ лежит на продолжении прямой $$AB$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$ADC$$

   $$\angle CAD=180^\circ-\angle A,$$

   поэтому

   $$\cos(180^\circ-\angle A)=\frac{AD}{AC}.$$

   Так как $$\cos(180^\circ-\angle A)=-\cos \angle A,$$ то

   $$AD=-AC\cdot \cos \angle A.$$

Теперь по теореме косинусов для стороны $$BC$$:

$$BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cdot \cos \angle A.$$

Подставляя выражение для $$AD$$, получаем

$$BC^2=AB^2+AC^2\pm 2AB\cdot AD.$$

Знак $$+$$ или $$-$$ зависит от того, острый или тупой угол $$A$$: при $$\angle A<90^\circ$$ получается знак $$+$$, а при $$\angle A>90^\circ$$ — знак $$-$$.

Ответ: знак $$+$$ — если $$\angle A<90^\circ$$, знак $$-$$ — если $$\angle A>90^\circ$$.