Вопрос 2 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее
концы;
Доказательство:
1) Пусть A1 A2 A3…An-данная ломаная;
2) Заменим звенья A1 A2 и A2 A3 одним звеном A1 A3, получим ломаную
A1 A3 A4…An;
3) Согласно неравенству треугольника:
A1 A3 < =A1 A2+A2 A3, значит ломаная A1 A3 A4…An имеет длину, не большую, чем исходная ломаная; 4) Заменяя таким же образом звенья A1 A3 и A3 A4 звеном A1 A4, переходим к ломаной A1 A4 A5…An, которая также имеет длину, не большую чем исходная ломаная; 5) И так далее, в итоге мы придем к отрезку A1 An, соединяющему концы ломаной, отсюда следует, что исходная ломаная имела длину, не меньшую длины отрезка A1 An, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть дана ломаная $$A_1A_2A_3\dots A_n$$.

Заменим два её звена $$A_1A_2$$ и $$A_2A_3$$ одним звеном $$A_1A_3$$. По неравенству треугольника

$$A_1A_3 \le A_1A_2 + A_2A_3.$$

Значит, новая ломаная $$A_1A_3A_4\dots A_n$$ имеет длину, не большую, чем исходная.

Аналогично заменим звенья $$A_1A_3$$ и $$A_3A_4$$ звеном $$A_1A_4$$. Тогда получим ломаную $$A_1A_4A_5\dots A_n$$, длина которой также не больше длины исходной ломаной.

Продолжая такие замены, в конце концов получим отрезок $$A_1A_n$$, соединяющий концы ломаной. Его длина не превосходит длины исходной ломаной.

Следовательно, длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы.