Вопрос 2 Параграф 12 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

От чего зависит знак «+» или «-»?
Доказать: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух
других сторон «±» удвоенное произведение одной из этих сторон на
проекцию другой;
Найти: от чего зависит знак «+» или «-«;
Докательство:
1) Пусть ABC-данный треугольник;
2) Опустим из вершины C высоту CD, тогда AD-проекция стороны AC
на сторону AB;
3) Если угол A-острый (рисунок а), то точка D лежит на стороне AB,
тогда в прямоугольном треугольнике ADC:
cos угла A=AD/AC, отсюда AD=AC•cos угла A;
4) Если угол A-тупой (рисунок б), то точка D лежит на продолжении
стороны AB, тогда в прямоугольном треугольнике ADC:
угол CAD=180°- угол A (как смежные углы);
cos(180°- угол A)=AD/AC = > -cos угла A=AD/AC, отсюда AD=-AC•cos угла A;
5) Подставим полученные значения в уравнение теоремы косинусов:
BC^2=AB^2+AC^2-2AB•(AC•cos угла A);
BC^2=AB^2+AC^2±2AB•AD, что и требовалось доказать.
Ответ: «+» если угол A < 90° и - если угол A > 90°;

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник. Опустим из вершины $$C$$ высоту $$CD$$ на прямую $$AB$$. Тогда $$AD$$ — проекция стороны $$AC$$ на прямую $$AB$$.

Рассмотрим два случая.

1) Если $$\angle A<90^\circ$$, то точка $$D$$ лежит на отрезке $$AB$$. В прямоугольном треугольнике $$ADC$$

$$\cos \angle A=\frac{AD}{AC}, \qquad AD=AC\cdot \cos \angle A.$$

По теореме косинусов для треугольника $$ABC$$:

$$ BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle A. $$

Так как $$AD=AC\cdot \cos \angle A$$, получаем

$$ BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AD. $$

2) Если $$\angle A>90^\circ$$, то точка $$D$$ лежит на продолжении прямой $$AB$$ за точкой $$A$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$ADC$$ угол $$\angle CAD$$ смежный с углом $$A$$, поэтому

$$\angle CAD=180^\circ-\angle A.$$

Следовательно,

$$ \cos(180^\circ-\angle A)=\frac{AD}{AC}, $$

а значит

$$ -\cos \angle A=\frac{AD}{AC}, \qquad AD=-AC\cdot \cos \angle A. $$

Подставляя это в теорему косинусов, получаем

$$ BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle A =AB^2+AC^2+2\cdot AB\cdot AD. $$

Итак, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон и удвоенному произведению одной из этих сторон на проекцию другой, причём знак зависит от вида угла при вершине $$A$$.

Знак $$+$$ получается, если угол $$A$$ тупой, а знак $$-$$ — если угол $$A$$ острый.