Упр.9.2 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Найти: в какую фигуру переходит при движении квадрат;
Решение:
1) Пусть ABCD-данный квадрат с диагоналями AC и BD:
AB=BC=CD=AD;
3) В четырехугольнике A’ B’ C’ D’, полученном при движении ABCD:
A’ B’=AB, B’ C’=BC, C’ D’=CD, D’ A’=DA, B’ D’=BD и A’ C’=AC;
4) Отсюда следует, что A’ B’=B’ C’=C’ D’=D’ A’, следовательно
A’B’C’D’-ромб;
5) Треугольники BAD и B’A’D’ равны по трем сторонам, отсюда:
угол B’A’ D’ = углу BAD=90°;
6) Аналогично доказывается, что другие углы ромба A’ B’ C’ D’ прямые,
следовательно он является квадратом;
Ответ: квадрат.

Пусть $$ABCD$$ — данный квадрат. При движении сохраняются расстояния, значит для образа квадрата $$A’B’C’D’$$ имеем:

$$A’B’=AB,\quad B’C’=BC,\quad C’D’=CD,\quad D’A’=DA.$$

Так как в квадрате $$AB=BC=CD=DA,$$ то и у его образа

$$A’B’=B’C’=C’D’=D’A’.$$

Следовательно, $$A’B’C’D’$$ — ромб.

Кроме того, при движении сохраняются углы и длины, поэтому треугольники $$BAD$$ и $$B’A’D’$$ равны по трём сторонам. Тогда

$$\angle B’A’D’=\angle BAD=90^\circ.$$

Аналогично доказывается, что все углы ромба $$A’B’C’D’$$ прямые. Значит, этот ромб является квадратом.

Ответ

квадрат.