Упр.4.2 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Доказать: если две прямые пересекаются, то любая третья прямая
пересекает по крайней мере одну из них;
Доказательство:
1) Пусть даны прямые a, b и c при это прямые a и b пересекаются в
некоторой точке A;
2) Допустим, что прямая c не пересекает ни прямую a, ни прямую b,
значит прямаые a и c параллельны и прямые b и c параллельны,
тогда через точку A проходит две различные прямые, параллельные
прямой c, что невозможно, значит наше предположение неверно;
3) Таким образом, прямая c пересекает хотя бы одну из данных прямых,
что и требовалось доказать.

Пусть прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются в точке $$A$$. Докажем, что любая третья прямая $$c$$ пересекает хотя бы одну из них.

Предположим противное: прямая $$c$$ не пересекает ни прямую $$a$$, ни прямую $$b$$. Тогда $$a \parallel c$$ и $$b \parallel c$$.

Но через точку $$A$$ проходят две различные прямые $$a$$ и $$b$$, обе параллельные прямой $$c$$. Это невозможно, так как через одну точку можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Следовательно, наше предположение неверно. Значит, прямая $$c$$ пересекает по крайней мере одну из прямых $$a$$ или $$b$$, что и требовалось доказать.