Упр.7.19 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. На стороне $$AB$$ треугольника $$ABC$$ взята точка $$X$$. Докажите, что отрезок $$CX$$ меньше по крайней мере одной из сторон $$AC$$ или $$BC$$.

Проведём высоту $$CD$$ треугольника $$ABC$$ к прямой $$AB$$, где $$D \in AB$$.

Точка $$X$$ лежит на отрезке $$AB$$, значит она находится либо между $$A$$ и $$D$$, либо между $$D$$ и $$B$$.

Рассмотрим два случая.

1. Если $$X \in AD$$, то $$DX<AD$$. В прямоугольных треугольниках $$CDX$$ и $$CDA$$ имеем общий катет $$CD$$ и $$DX<AD$$, поэтому гипотенуза $$CX$$ меньше гипотенузы $$CA$$:

   $$CX<CA.$$

2. Если $$X \in DB$$, то $$DX<DB$$. В прямоугольных треугольниках $$CDX$$ и $$CDB$$ общий катет $$CD$$, а $$DX<DB$$, значит

   $$CX<CB.$$

Итак, в любом случае отрезок $$CX$$ меньше по крайней мере одной из сторон $$AC$$ или $$BC$$, что и требовалось доказать.