Упр.13.19 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 19. Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна а. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность.

Пусть $$R$$ — радиус окружности, описанной около правильного треугольника.

Для правильного треугольника со стороной $$a$$ имеем формулу

$$R=\frac{a}{\sqrt{3}}.$$

Теперь найдём сторону квадрата, вписанного в ту же окружность. Диагональ квадрата равна диаметру окружности, то есть $$2R$$. Тогда сторона квадрата

$$x=\frac{2R}{\sqrt{2}}=R\sqrt{2}.$$

Подставим найденное значение $$R$$:

$$x=\frac{a}{\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2}=a\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

Ответ

$$a\sqrt{\frac{2}{3}}$$