Вопрос 19 Параграф 6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

Пусть $$ABCD$$ — данная трапеция, у которой $$AB \parallel CD$$. Проведём через вершину $$B$$ и середину $$P$$ боковой стороны $$CD$$ прямую; она пересечёт прямую $$AD$$ в точке $$E$$.

Рассмотрим треугольники $$PBC$$ и $$PED$$.

Имеем:

• $$CP=DP$$ — по построению;
• $$\angle CPB=\angle DPE$$ — как вертикальные;
• $$\angle PCB=\angle PDE$$ — как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $$BC$$ и $$AD$$ и секущей $$CD$$.

Следовательно, $$\triangle PBC=\triangle PED$$ по второму признаку равенства треугольников. Отсюда $$PB=PE$$ и $$BC=DE$$.

Значит, точка $$P$$ — середина стороны $$BE$$, а отрезок $$PQ$$, соединяющий середины боковых сторон трапеции, является средней линией треугольника $$ABE$$. Тогда по теореме о средней линии треугольника

$$PQ \parallel AE,\qquad PQ=\frac12 AE.$$

Но $$AE=AD+DE=AD+BC$$, поэтому

$$PQ=\frac12(AD+BC).$$

Итак, средняя линия трапеции равна полусумме оснований.