Упр.5.19 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что в любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник. Проведём биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$; они пересекутся в точке $$O$$, так что $$\angle CAO=\angle OAB$$ и $$\angle CBO=\angle OBA$$.

Из точки $$O$$ опустим перпендикуляры $$OA_1$$, $$OB_1$$ и $$OC_1$$ на стороны треугольника $$ABC$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AOB_1$$ и $$AOC_1$$. У них:

$$AO$$ — общая гипотенуза;
$$\angle ABO=\angle OAC$$, так как $$BO$$ и $$AO$$ — биссектрисы.

Следовательно, эти треугольники равны по гипотенузе и острому углу. Значит, $$OB_1=OC_1$$.

Аналогично, из равенства прямоугольных треугольников $$BOA_1$$ и $$BOC_1$$ получаем $$OA_1=OC_1$$.

Итак, $$OA_1=OB_1=OC_1$$. Значит, точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ лежат на окружности с центром в точке $$O$$ и радиусом $$OA_1$$. Поскольку $$OA_1\perp BC$$, $$OB_1\perp AC$$, $$OC_1\perp AB$$, стороны треугольника касаются этой окружности. Следовательно, в любой треугольник можно вписать окружность.

Теперь докажем единственность. Из равенства прямоугольных треугольников $$COB_1$$ и $$COA_1$$ следует, что $$\angle B_1CO=\angle OCA_1$$, то есть точка $$O$$ лежит и на биссектрисе угла $$C$$. Значит, все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, а такая точка одна. Следовательно, вписанная окружность в треугольник единственна.