Упр.4.19 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Найдите углы треугольника, если они пропорциональны числам: 1) $$1, 2, 3$$; 2) $$2, 3, 4$$; 3) $$3, 4, 5$$; 4) $$4, 5, 6$$; 5) $$5, 6, 7$$.
Сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$. Пусть углы треугольника пропорциональны данным числам, тогда их можно обозначить как $$kx$$, $$mx$$, $$nx$$, где $$x$$ — общий множитель.
Для отношения $$1:2:3$$ пусть углы равны $$x$$, $$2x$$ и $$3x$$. Тогда
$$x+2x+3x=180^\circ$$
$$6x=180^\circ,\quad x=30^\circ.$$
Следовательно, углы равны $$30^\circ,\ 60^\circ,\ 90^\circ.$$
Для отношения $$2:3:4$$ пусть углы равны $$2x$$, $$3x$$ и $$4x$$. Тогда
$$2x+3x+4x=180^\circ$$
$$9x=180^\circ,\quad x=20^\circ.$$
Следовательно, углы равны $$40^\circ,\ 60^\circ,\ 80^\circ.$$
Для отношения $$3:4:5$$ пусть углы равны $$3x$$, $$4x$$ и $$5x$$. Тогда
$$3x+4x+5x=180^\circ$$
$$12x=180^\circ,\quad x=15^\circ.$$
Следовательно, углы равны $$45^\circ,\ 60^\circ,\ 75^\circ.$$
Для отношения $$4:5:6$$ пусть углы равны $$4x$$, $$5x$$ и $$6x$$. Тогда
$$4x+5x+6x=180^\circ$$
$$15x=180^\circ,\quad x=12^\circ.$$
Следовательно, углы равны $$48^\circ,\ 60^\circ,\ 72^\circ.$$
Для отношения $$5:6:7$$ пусть углы равны $$5x$$, $$6x$$ и $$7x$$. Тогда
$$5x+6x+7x=180^\circ$$
$$18x=180^\circ,\quad x=10^\circ.$$
Следовательно, углы равны $$50^\circ,\ 60^\circ,\ 70^\circ.$$
Ответ: 1) $$30^\circ,\ 60^\circ,\ 90^\circ$$; 2) $$40^\circ,\ 60^\circ,\ 80^\circ$$; 3) $$45^\circ,\ 60^\circ,\ 75^\circ$$; 4) $$48^\circ,\ 60^\circ,\ 72^\circ$$; 5) $$50^\circ,\ 60^\circ,\ 70^\circ$$.
