Вопрос 19 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 19. Сформулируйте и докажите теорему об угле между хордой и касательной к окружности.

Сформулируем теорему: если из точки $$B$$ к окружности с центром $$O$$ проведены касательная $$AB$$ и хорда $$BC$$, то угол между касательной и хордой равен половине дуги, стягиваемой этой хордой, то есть

$$\angle ABC=\frac12\angle BOC.$$

Докажем это.

Проведём диаметр $$BD$$ окружности. Тогда радиус $$OB$$ перпендикулярен касательной $$AB$$, значит

$$\angle ABD=90^\circ.$$

Рассмотрим центральный угол $$\angle BOC$$. Так как точки $$C$$ и $$D$$ лежат на окружности, то

$$\angle BOC=180^\circ-\angle COD.$$

Угол $$\angle COD$$ — центральный, а угол $$CBD$$ — вписанный, опирающийся на ту же дугу $$CD$$, поэтому

$$\angle COD=2\angle CBD.$$

Следовательно,

$$\angle BOC=180^\circ-2\angle CBD,$$

откуда

$$\angle CBD=90^\circ-\frac12\angle BOC.$$

Теперь рассмотрим угол $$\angle ABC$$. В зависимости от расположения точки $$C$$ он может быть равен разности или сумме углов $$\angle ABD$$ и $$\angle CBD$$.

Если $$\angle ABC=\angle ABD-\angle CBD,$$ то

$$ \angle ABC=90^\circ-\left(90^\circ-\frac12\angle BOC\right)=\frac12\angle BOC. $$

Если $$\angle ABC=\angle ABD+\angle CBD,$$ то смежный с ним угол равен

$$ 180^\circ-\angle ABC=180^\circ-\left(180^\circ-\frac12\angle BOC\right)=\frac12\angle BOC. $$

В обоих случаях получаем

$$\angle ABC=\frac12\angle BOC.$$

Если точки $$C$$ и $$D$$ совпадают, то $$\angle ABC=90^\circ$$ и $$\angle BOC=180^\circ$$, поэтому также

$$\angle ABC=\frac12\angle BOC.$$

Теорема доказана.