Вопрос 19 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Сформулируйте и докажите теорему об угле между хордой и касательной к окружности.

Пусть из точки $$B$$ к окружности с центром $$O$$ проведены касательная $$AB$$ и хорда $$BC$$. Докажем, что угол между хордой и касательной равен половине дуги, стягиваемой этой хордой, то есть

$$\angle ABC=\frac12\angle BOC.$$

Проведём диаметр $$BD$$ окружности. Тогда радиус $$OB$$ перпендикулярен касательной $$AB$$, значит

$$\angle ABD=90^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$BOC$$. Так как $$OB=OC$$, он равнобедренный, поэтому

$$\angle BCO=\angle OBC.$$

Угол $$\angle BOC$$ — центральный, а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу $$BC$$, равен половине центрального:

$$\angle BDC=\frac12\angle BOC.$$

Так как точки $$B, O, D$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle COD=180^\circ-\angle BOC.$$

Вписанный угол $$\angle CBD$$, опирающийся на дугу $$CD$$, равен половине центрального угла $$\angle COD$$:

$$\angle CBD=\frac12\angle COD=\frac{180^\circ-\angle BOC}{2}=90^\circ-\frac12\angle BOC.$$

Теперь рассмотрим угол между касательной $$AB$$ и хордой $$BC$$. Он равен разности углов $$\angle ABD$$ и $$\angle CBD$$:

$$\angle ABC=\angle ABD-\angle CBD =90^\circ-\left(90^\circ-\frac12\angle BOC\right) =\frac12\angle BOC.$$

Следовательно, угол между хордой и касательной равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Теорема доказана.

Ответ

$$\angle ABC=\frac12\angle BOC.$$