Упр.5.19 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: в любой треугольник можно вписать окружность, и только
одну;
Доказательство:
1) Пусть ABC-данный треугольник;
2) Проведем биссектрисы углов A и B они пересекутся в некоторой
точке O, тогда угол CAO = углу OAB и угол CBO = углу OBA;
3) Из точки O опустим перпендикуляры OA1, OB1 и OC1 на стороны
треугольника ABC;
4) Прямоугольные треугольники AOB1 и AOC1 равны по гипотенузе
и острому углу (AO-общая гипотенуза), отсюда OB1=OC1;
5) Прямоугольные треугольники BOA1 и BOC1 равны по гипотенузе
и острому углу (BO-общая гипотенуза), отсюда OC1=OA1;
6) Таким образом, точки A1, B1 и C1 равноудалены от точки O, значит
они принадлежат одной окружности, а стороны треугольника ABC
являются касательными к этой окружности, то есть в треугольник
ABC можно вписать окружность;
7) Прямоугольные треугольники COB1 и COA1 равны по катету и
гипотенузе (CO-общая гипотенуза), отсюда угол B1 CO = углу A1 CO, то есть
точка O лежит на биссектрисе угла C;
8) Таким образом, все биссектрисы треугольника пересекаются в одной
точке, а так как центр вписанной окружности является точкой пере-
сечения биссектрис треугольника, то он может быть только один, что
и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник. Проведём биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$; они пересекутся в точке $$O$$, так как биссектрисы двух углов треугольника не параллельны.

Из точки $$O$$ опустим перпендикуляры $$OA_1$$, $$OB_1$$ и $$OC_1$$ на стороны $$BC$$, $$CA$$ и $$AB$$ соответственно.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AOB_1$$ и $$AOC_1$$. У них:

$$AO$$ — общая гипотенуза;
$$\angle OAB=\angle CAO$$, значит, $$\angle AOB_1=\angle AOC_1$$ как дополнительные к равным углам при вершине $$A$$.

Следовательно, $$\triangle AOB_1 \cong \triangle AOC_1$$ по гипотенузе и острому углу. Отсюда $$OB_1=OC_1$$.

Аналогично, из равенства прямоугольных треугольников $$BOA_1$$ и $$BOC_1$$ получаем $$OA_1=OC_1$$.

Значит, $$OA_1=OB_1=OC_1$$. Следовательно, точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ лежат на окружности с центром в точке $$O$$ и радиусом $$OA_1$$. Так как стороны треугольника касаются этой окружности в точках $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$, то в треугольник $$ABC$$ можно вписать окружность.

Теперь докажем, что она единственная. Из равенства прямоугольных треугольников $$COB_1$$ и $$COA_1$$ получаем, что $$\angle B_1CO=\angle OCA_1$$, то есть точка $$O$$ лежит и на биссектрисе угла $$C$$.

Итак, все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка и является центром вписанной окружности. Поскольку пересечение биссектрис определяется однозначно, вписанная окружность в треугольник может быть только одна.