Упр.13.18 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 18. У правильного треугольника радиус вписанной окружности в 2 раза меньше радиуса описанной окружности. Докажите. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 pogorelov7-9 13-18 76

Пусть сторона правильного треугольника равна $$a$$.

Для правильного треугольника радиус описанной окружности выражается формулой

$$R=\frac{a}{2\sin 60^\circ}=\frac{a}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{3}}.$$

Радиус вписанной окружности равен

$$r=\frac{a}{2\tan 60^\circ}=\frac{a}{2\sqrt{3}}.$$

Найдём отношение радиусов:

$$\frac{r}{R}=\frac{\frac{a}{2\sqrt{3}}}{\frac{a}{\sqrt{3}}}=\frac{1}{2}.$$

Значит,

$$r=\frac{R}{2},$$

то есть радиус вписанной окружности в 2 раза меньше радиуса описанной окружности.

Ответ

$$r=\frac{R}{2}$$