Упр.5.18 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$ (рис. 109). Докажите, что $$AC_1=\frac{AB+AC-BC}{2}$$.

Пусть $$AB=x+y,$$ $$AC=x+z,$$ $$BC=y+z,$$ где $$x=AC_1,$$ $$y=BA_1,$$ $$z=CB_1.$$

Такое обозначение возможно, потому что отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны: $$AA_1=AC_1,$$ $$BA_1=BB_1,$$ $$CB_1=CC_1.$$

Тогда

$$AB=AA_1+BA_1=x+y,$$

$$AC=AA_1+CC_1=x+z,$$

$$BC=BB_1+CC_1=y+z.$$

Сложим первые два равенства и вычтем третье:

$$AB+AC-BC=(x+y)+(x+z)-(y+z)=2x.$$

Но $$x=AC_1,$$ значит

$$AC_1=\frac{AB+AC-BC}{2}.$$

Ответ: $$AC_1=\frac{AB+AC-BC}{2}.$$