Вопрос 18 Параграф 4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.
Пусть $$a$$ — данная прямая, а $$A$$ — точка, не лежащая на ней.
Проведём через точку $$A$$ прямую $$b$$, параллельную прямой $$a$$. Тогда, по свойству перпендикулярных и параллельных прямых, любая прямая, перпендикулярная $$b$$, будет перпендикулярна и прямой $$a$$.
Через точку $$A$$ проведём прямую $$AB$$, перпендикулярную $$b$$. Пусть $$B$$ — точка пересечения прямых $$AB$$ и $$a$$. Тогда $$AB \perp a$$, то есть из точки $$A$$ на прямую $$a$$ опущен перпендикуляр.
Докажем, что он единственный. Предположим, что через точку $$A$$ можно провести ещё один перпендикуляр $$AC$$ к прямой $$a$$. Тогда в треугольнике $$ABC$$ углы при вершинах $$B$$ и $$C$$ прямые, что невозможно, так как сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$. Значит, второй перпендикуляр провести нельзя.
Следовательно, из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и притом только один.
