Упр.13.18 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

У правильного треугольника радиус вписанной окружности в 2 раза меньше радиуса описанной окружности. Докажите.

Для правильного треугольника со стороной $$a$$ радиус описанной окружности равен

$$R=\frac{a}{2\sin 60^\circ}=\frac{a}{2\cdot \frac{\sqrt3}{2}}=\frac{a}{\sqrt3}.$$

Радиус вписанной окружности:

$$r=\frac{a}{2\tan 60^\circ}=\frac{a}{2\cdot \sqrt3}=\frac{a}{2\sqrt3}.$$

Тогда

$$\frac{r}{R}=\frac{\frac{a}{2\sqrt3}}{\frac{a}{\sqrt3}}=\frac12.$$

Следовательно, у правильного треугольника радиус вписанной окружности в 2 раза меньше радиуса описанной окружности.

Ответ

$$r=\frac{R}{2}$$