Упр.3.18 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются также вершинами равнобедренного треугольника.
- Докажите, что середины сторон равностороннего треугольника являются также вершинами равностороннего треугольника.
1) Пусть $$ABC$$ — равнобедренный треугольник, причём $$AB=BC$$, а $$A_1,$$ $$B_1,$$ $$C_1$$ — середины сторон $$BC,$$ $$CA,$$ $$AB$$ соответственно.
Тогда по определению середины стороны имеем:
$$A_1B=A_1C,\qquad B_1A=B_1C,\qquad C_1A=C_1B.$$
Рассмотрим треугольники $$AC_1B_1$$ и $$CA_1B_1$$. У них:
$$AC_1=C_1B,\qquad CB_1=B_1A,\qquad AB=BC.$$
Следовательно, эти треугольники равны по трём сторонам, значит
$$C_1B_1=B_1A_1.$$
Итак, треугольник $$A_1B_1C_1$$ равнобедренный.
2) Пусть теперь $$ABC$$ — равносторонний треугольник, то есть
$$AB=BC=CA,$$
а также
$$\angle BAC=\angle BCA=\angle CBA.$$
Пусть $$A_1,$$ $$B_1,$$ $$C_1$$ — середины сторон $$BC,$$ $$CA,$$ $$AB$$ соответственно. Тогда
$$A_1B=A_1C,\qquad B_1A=B_1C,\qquad C_1A=C_1B.$$
Рассмотрим треугольники $$B_1C_1A,$$ $$B_1A_1C$$ и $$C_1A_1B$$. В каждом из них две стороны равны соответствующим половинам равных сторон треугольника $$ABC$$, а угол между ними одинаков, так как он равен одному из углов равностороннего треугольника. Значит, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.
Отсюда получаем:
$$A_1B_1=B_1C_1=C_1A_1.$$
Следовательно, треугольник $$A_1B_1C_1$$ равносторонний.
Ответ
Середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами равнобедренного треугольника, а середины сторон равностороннего треугольника — вершинами равностороннего треугольника.
