Вопрос 18 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: угол, вершина которого лежит вне окружности, а стороны
пересекают окружность, равен полуразности двух центральных углов,
которым соответствуют дуги окружности, заключенные между сторонами
данного угла;
Доказательство:
1) Пусть вершина B угла ABC лежит вне окружности;
2) Отметим точку D на пересечении окружности и луча BC;
3) Отметим точку K на пересечении окружности и луча BA;
4) Углы ADC и KAD-вписаны в окружность, следовательно:
угол ADC=1/2 угол AOC и угол KAD=1/2 угол KOD;
5) Угол ADC является внешним углом треугольника ADB, поэтому:
угол ADC = углу BAD+ угол ABD, отсюда угол ABD = углу ADC- угол ABD;
угол ABC = углу ABD=1/2 (угол AOC- угол KOD), что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть вершина $$B$$ угла $$ABC$$ лежит вне окружности, а лучи $$BA$$ и $$BC$$ пересекают окружность в точках $$K$$ и $$D$$ соответственно.

Тогда углы $$\angle ADC$$ и $$\angle KAD$$ — вписанные, поэтому

$$\angle ADC=\frac{1}{2}\angle AOC,\qquad \angle KAD=\frac{1}{2}\angle KOD.$$

Рассмотрим треугольник $$ABD$$. Угол $$\angle ADC$$ является внешним углом этого треугольника, значит

$$\angle ADC=\angle BAD+\angle ABD.$$

Отсюда

$$\angle ABD=\angle ADC-\angle BAD.$$

Так как $$\angle BAD=\angle KAD$$, получаем

$$\angle ABC=\angle ABD=\angle ADC-\angle KAD.$$

Подставим найденные выражения для вписанных углов:

$$\angle ABC=\frac{1}{2}\angle AOC-\frac{1}{2}\angle KOD=\frac{1}{2}\left(\angle AOC-\angle KOD\right).$$

Следовательно, угол, вершина которого лежит вне окружности, равен половине разности двух центральных углов, соответствующих дугам, заключённым между его сторонами.