Вопрос 18 Параграф 10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 18. Докажите, что абсолютная величина вектора лямбда а равна |лябда| * |a|, направление вектора лямбла а при а =/ 0 совпадает с направлением вектора a, если лямбда > 0, и противоположно направлению вектора а, если лямбда < 0.

Пусть $$\vec a=(a_1,a_2)$$. Тогда при умножении вектора на число $$\lambda$$ получаем

$$\lambda \vec a=(\lambda a_1,\lambda a_2).$$

Найдём его длину:

$$ |\lambda \vec a| =\sqrt{(\lambda a_1)^2+(\lambda a_2)^2} =\sqrt{\lambda^2(a_1^2+a_2^2)} =|\lambda|\sqrt{a_1^2+a_2^2} =|\lambda|\cdot |\vec a|. $$

Теперь рассмотрим направление вектора $$\lambda \vec a$$.

Если $$\lambda>0$$, то числа $$\lambda a_1$$ и $$\lambda a_2$$ имеют те же знаки, что и $$a_1$$ и $$a_2$$. Значит, вектор $$\lambda \vec a$$ лежит на той же полупрямой, что и вектор $$\vec a$$, то есть они сонаправлены.

Если $$\lambda<0$$, то числа $$\lambda a_1$$ и $$\lambda a_2$$ имеют противоположные знаки по сравнению с $$a_1$$ и $$a_2$$. Следовательно, вектор $$\lambda \vec a$$ лежит на противоположной полупрямой, то есть направлен противоположно вектору $$\vec a$$.

Итак, доказано, что $$|\lambda \vec a|=|\lambda|\cdot |\vec a|$$, а при $$\vec a\neq \vec 0$$ направление вектора $$\lambda \vec a$$ совпадает с направлением $$\vec a$$ при $$\lambda>0$$ и противоположно ему при $$\lambda<0$$.

Ответ

$$|\lambda \vec a|=|\lambda|\cdot |\vec a|$$; при $$\lambda>0$$ векторы $$\vec a$$ и $$\lambda \vec a$$ сонаправлены, при $$\lambda<0$$ — противоположно направлены.