Упр.9.18 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: если у треугольника есть ось симметрии, то 1) она проходит
через одну из его вершин; 2) треугольник равнобедренный;
Доказательство:
Пусть дан треугольник ABC с осью симметрии a и вершина A при
преобразовании симметрии относительно прямой a переходит в
вершину B;
I) Докажем, что a проходит через вершну C:
1) Допустим, что прямая a не проходит ни через одну из вершин треугольник ABC;
2) Если точка A прямой a переходит в точку B, то прямая a является
серединным перпендикуляром к отрезку AB;
3) Точка C переходит в какую-нибудь точку C’ треугольника ABC;
4) CC’ перпендикулярен a и AB перпендикулярен a, следовательно CC’ ||AB;
5) Так как точка C не лежит на прямой AB, то и точка C’ не лежит на
этой прямой (так как AB перпендикулярен a), значит точка C’ лежит на одной из
сторон AC или BC;
6) То есть у треугольника ABC две стороны параллельны, что невозможно,
следовательно наше предположение неверно и ось симметрии a проходит
через вершину C (тогда она переходит в саму себя), что и требовалось
Доказать.
II) Докажем, что треугольник ABC-равнобедренный:
1) Прямая a является серединным перпендикуляром к отрезку AB,
пусть O-точка их пересечения, тогда: AO=OB и CO перпендикулярен AB;
2) Отрезок CO является медианой и высотой треугольника ABC, значит
этот треугольник равнобедренный с основанием AB, что и требовалось
Доказать.

Подробный ответ

Пусть у треугольника $$ABC$$ есть ось симметрии $$a$$. Тогда при отражении относительно прямой $$a$$ одна из вершин, например $$A$$, переходит в вершину $$B$$.

1) Докажем, что ось симметрии проходит через одну из вершин треугольника.

Предположим, что прямая $$a$$ не проходит ни через одну вершину треугольника $$ABC$$. Так как точка $$A$$ переходит в точку $$B$$, то прямая $$a$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$AB$$.

Точка $$C$$ при отражении переходит в некоторую точку $$C’$$. Тогда $$CC’ \perp a$$. Кроме того, $$AB \perp a$$, значит $$CC’ \parallel AB$$.

Так как $$C$$ не лежит на прямой $$AB$$, то и $$C’$$ не лежит на $$AB$$. Следовательно, точка $$C’$$ должна лежать на одной из сторон $$AC$$ или $$BC$$. Тогда у треугольника $$ABC$$ получаются две параллельные стороны, что невозможно.

Противоречие показывает, что наше предположение неверно. Значит, ось симметрии проходит через вершину $$C$$.

2) Докажем, что треугольник равнобедренный.

Пусть $$O$$ — точка пересечения прямой $$a$$ с отрезком $$AB$$. Так как $$a$$ — серединный перпендикуляр к $$AB$$, то

$$AO=OB,\qquad CO\perp AB.$$

Следовательно, прямая $$CO$$ является и медианой, и высотой треугольника $$ABC$$, проведённой к основанию $$AB$$. А значит, $$\triangle ABC$$ равнобедренный, причём

$$AC=BC.$$