Упр.1.18 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Даны прямая и четыре точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ и $$D$$, не лежащие на этой прямой. Пересекает ли прямую отрезок $$AD$$, если:

1) отрезки $$AB$$, $$BC$$ и $$CD$$ пересекают прямую;

2) отрезки $$AC$$ и $$BC$$ пересекают прямую, а отрезок $$BD$$ не пересекает;

3) отрезки $$AB$$ и $$CD$$ пересекают прямую, а отрезок $$BC$$ не пересекает;

4) отрезки $$AB$$ и $$CD$$ не пересекают прямую, а отрезок $$BC$$ пересекает;

5) отрезки $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$ не пересекают прямую;

6) отрезки $$AC$$, $$BC$$ и $$BD$$ пересекают прямую.

Объясните ответ.

Подробный ответ

Пусть прямая $$a$$ разбивает плоскость на две полуплоскости $$m$$ и $$n$$. Если отрезок пересекает прямую $$a$$, то его концы лежат в разных полуплоскостях; если не пересекает — в одной и той же.

Пусть $$A \in m$$. Тогда из условия:
$$AB$$ пересекает $$a$$, значит $$B \in n$$;
$$BC$$ пересекает $$a$$, значит $$C \in m$$;
$$CD$$ пересекает $$a$$, значит $$D \in n$$.
Точки $$A$$ и $$D$$ лежат в разных полуплоскостях, значит отрезок $$AD$$ пересекает прямую $$a$$.
Ответ: пересекает.
Пусть $$A \in m$$. Тогда:
$$AC$$ пересекает $$a$$, значит $$C \in n$$;
$$BC$$ пересекает $$a$$, значит $$B \in m$$;
$$BD$$ не пересекает $$a$$, значит $$D \in m$$.
Точки $$A$$ и $$D$$ лежат в одной полуплоскости, значит отрезок $$AD$$ не пересекает прямую $$a$$.
Ответ: не пересекает.
Пусть $$A \in m$$. Тогда:
$$AB$$ пересекает $$a$$, значит $$B \in n$$;
$$BC$$ не пересекает $$a$$, значит $$C \in n$$;
$$CD$$ пересекает $$a$$, значит $$D \in m$$.
Точки $$A$$ и $$D$$ лежат в одной полуплоскости, значит отрезок $$AD$$ не пересекает прямую $$a$$.
Ответ: не пересекает.
Пусть $$A \in m$$. Тогда:
$$AB$$ не пересекает $$a$$, значит $$B \in m$$;
$$BC$$ пересекает $$a$$, значит $$C \in n$$;
$$CD$$ пересекает $$a$$, значит $$D \in m$$.
Точки $$A$$ и $$D$$ лежат в одной полуплоскости, значит отрезок $$AD$$ не пересекает прямую $$a$$.
Ответ: не пересекает.
Пусть $$A \in m$$. Тогда:
$$AB$$ не пересекает $$a$$, значит $$B \in m$$;
$$BC$$ не пересекает $$a$$, значит $$C \in m$$;
$$CD$$ не пересекает $$a$$, значит $$D \in m$$.
Точки $$A$$ и $$D$$ лежат в одной полуплоскости, значит отрезок $$AD$$ не пересекает прямую $$a$$.
Ответ: не пересекает.
Пусть $$A \in m$$. Тогда:
$$AC$$ пересекает $$a$$, значит $$C \in n$$;
$$BC$$ пересекает $$a$$, значит $$B \in m$$;
$$BD$$ пересекает $$a$$, значит $$D \in n$$.
Точки $$A$$ и $$D$$ лежат в разных полуплоскостях, значит отрезок $$AD$$ пересекает прямую $$a$$.
Ответ: пересекает.