Упр.6.18 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: если у четырехугольника две стороны параллельны и равны,
то он является параллелограммом;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-данный четырехугольник, у которого две стороны
AB и CD равны и параллельны;
2) Углы BAC и ACD равны как внутренние накрест лежащие при
параллельных прямых AB и CD и секущей AC;
3) Треугольники ABC и CDA равны по первому признаку (AC-общая
сторона), отсюда угол BCA = углу CAD;
4) Углы BCA и CAD являются внутренними накрест лежащими при
прямых BC и AD и секущей AC, значит эти прямые параллельны;
5) AB||CD (по условию) и BC||AD, следвательно ABCD является
параллелограммом по определению, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный четырёхугольник, у которого $$AB \parallel CD$$ и $$AB=CD$$.

Проведём диагональ $$AC$$. Тогда углы $$\angle BAC$$ и $$\angle ACD$$ равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $$AB$$ и $$CD$$ и секущей $$AC$$.

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$CDA$$. В них:

$$AB=CD$$ — по условию;
$$AC$$ — общая сторона;
$$\angle BAC=\angle ACD$$.

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle CDA$$ по первому признаку равенства треугольников.

Отсюда равны соответствующие углы:

$$\angle BCA=\angle CAD.$$

Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых $$BC$$ и $$AD$$ и секущей $$AC$$, значит,

$$BC \parallel AD.$$

Итак, в четырёхугольнике $$ABCD$$ обе пары противоположных сторон параллельны: $$AB \parallel CD$$ и $$BC \parallel AD$$. Значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.