Вопрос 18 Параграф 10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что абсолютная величина вектора $$\lambda\vec a$$ равна $$|\lambda|\cdot|\vec a|$$, направление вектора $$\lambda\vec a$$ при $$\vec a\ne0$$ совпадает с направлением вектора $$\vec a$$, если $$\lambda>0$$, и противоположно направлению вектора $$\vec a$$, если $$\lambda<0$$.

Пусть вектор $$\vec a$$ имеет координаты $$\left(a_1,a_2\right)$$. Тогда вектор $$\lambda \vec a$$ имеет координаты $$\left(\lambda a_1,\lambda a_2\right)$$.

Найдём его длину:

$$|\lambda \vec a|=\sqrt{(\lambda a_1)^2+(\lambda a_2)^2} =\sqrt{\lambda^2(a_1^2+a_2^2)} =|\lambda|\sqrt{a_1^2+a_2^2} =|\lambda|\cdot |\vec a|.$$

Теперь рассмотрим направление.

• Если $$\lambda>0$$, то числа $$\lambda a_1$$ и $$\lambda a_2$$ имеют те же знаки, что и $$a_1$$ и $$a_2$$. Значит, вектор $$\lambda \vec a$$ направлен так же, как и вектор $$\vec a$$.
• Если $$\lambda<0$$, то координаты $$\lambda \vec a$$ имеют противоположные знаки по сравнению с координатами $$\vec a$$. Следовательно, вектор $$\lambda \vec a$$ направлен противоположно вектору $$\vec a$$.

Итак, $$|\lambda \vec a|=|\lambda|\cdot |\vec a|$$, а при $$\vec a\neq \vec 0$$ направление вектора $$\lambda \vec a$$ совпадает с направлением $$\vec a$$ при $$\lambda>0$$ и противоположно ему при $$\lambda<0$$.