Упр.9.18 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Докажите, что если у треугольника есть ось симметрии, то:
- она проходит через одну из его вершин;
- треугольник равнобедренный.
Пусть у треугольника $$ABC$$ есть ось симметрии $$a$$. Рассмотрим отражение относительно прямой $$a$$.
Пусть вершина $$A$$ переходит в вершину $$B$$. Тогда прямая $$a$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$AB$$.
Докажем, что $$a$$ проходит через третью вершину $$C$$.
Предположим противное: прямая $$a$$ не проходит ни через одну вершину треугольника $$ABC$$. Тогда точка $$C$$ переходит в некоторую точку $$C’$$. Так как отражение сохраняет перпендикулярность, то $$CC’ \perp a$$, а также $$AB \perp a$$, значит $$CC’ \parallel AB$$.
Но точка $$C$$ не лежит на прямой $$AB$$, следовательно и точка $$C’$$ не может лежать на $$AB$$. Тогда образ точки $$C$$ должен лежать на одной из сторон $$AC$$ или $$BC$$, что невозможно: у треугольника не могут быть две стороны параллельны одной и той же прямой. Получили противоречие.
Значит, ось симметрии $$a$$ проходит через вершину $$C$$.
Теперь докажем, что треугольник $$ABC$$ равнобедренный. Пусть $$O=a\cap AB$$. Тогда, так как $$a$$ — серединный перпендикуляр к $$AB$$, имеем
$$AO=OB,\qquad CO\perp AB.$$
Следовательно, прямая $$a$$ проходит через вершину $$C$$ и через середину основания $$AB$$, то есть $$CO$$ — и медиана, и высота треугольника $$ABC$$. А значит, $$\triangle ABC$$ равнобедренный, причём $$AC=BC$$.
Ответ: ось симметрии треугольника проходит через одну из его вершин; треугольник равнобедренный.
