Вопрос 18 Параграф 9 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите существование и единственность параллельного переноса, переводящего данную точку в другую данную точку.

Введём на плоскости декартовы координаты. Пусть точка $$A$$ имеет координаты $$\left(a_1,a_2\right)$$, а точка $$A’$$ — координаты $$\left(a_1′,a_2’\right)$$.

Рассмотрим параллельный перенос, заданный формулами

$$x’=x+a_1′-a_1,\qquad y’=y+a_2′-a_2.$$

При $$x=a_1$$ и $$y=a_2$$ получаем

$$x’=a_1′,\qquad y’=a_2′,$$

то есть точка $$A$$ переходит в точку $$A’$$. Следовательно, такой параллельный перенос существует.

Докажем единственность. Пусть произвольная точка $$X$$ переходит при параллельном переносе в точку $$X’$$. Тогда по свойству параллельного переноса

$$AA’ \parallel XX’,\qquad AA’=XX’.$$

Значит, четырёхугольник $$AA’X’X$$ — параллелограмм. Его диагонали $$AX’$$ и $$A’X$$ пересекаются и делятся пополам в одной точке $$O$$.

Точка $$X$$ однозначно определяет точку $$O$$ как середину отрезка $$A’X$$. Тогда точки $$A$$ и $$O$$ однозначно определяют точку $$X’$$, поскольку $$O$$ является серединой отрезка $$AX’$$.

Следовательно, для каждой точки $$X$$ образ $$X’$$ определяется однозначно, а значит, параллельный перенос, переводящий $$A$$ в $$A’$$, единственен.

Итак, существует и притом единственный параллельный перенос, при котором точка $$A$$ переходит в точку $$A’$$.