Упр.7.17 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что если треугольник имеет стороны $$a$$, $$b$$, $$c$$ и $$a^2+b^2=c^2$$, то угол, противолежащий стороне $$c$$, прямой.

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, причём $$AB=c,$$ $$BC=a,$$ $$AC=b,$$ и $$a^2+b^2=c^2.$$

Построим прямоугольный треугольник $$A_1B_1C_1$$ так, что $$A_1C_1=b,$$ $$B_1C_1=a,$$ $$\angle C_1=90^\circ.$$

По теореме Пифагора для треугольника $$A_1B_1C_1$$ имеем:

$$A_1B_1^2=A_1C_1^2+B_1C_1^2=b^2+a^2=c^2.$$

Следовательно, $$A_1B_1=c=AB.$$ Значит, у треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ попарно равны все три стороны:

$$AB=A_1B_1,\quad BC=B_1C_1,\quad AC=A_1C_1.$$

Тогда треугольники равны по трём сторонам, а значит, равны и соответствующие углы. Поэтому

$$\angle C=\angle C_1=90^\circ.$$

Итак, угол, противолежащий стороне $$c$$, прямой.