Упр.13.17 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 17. Хорда, перпендикулярная радиусу и проходящая через его середину, равна стороне правильного вписанного треугольника. Докажите.

Подробный ответ

Пусть хорда $$AB$$ перпендикулярна радиусу $$OD$$ и проходит через его середину $$M$$. Тогда $$OM=\frac{1}{2}R$$, где $$R$$ — радиус окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AMO$$. Так как $$OA=R$$, то по теореме Пифагора

$$ AM=\sqrt{OA^2-OM^2} =\sqrt{R^2-\left(\frac{R}{2}\right)^2} =\sqrt{R^2-\frac{R^2}{4}} =\sqrt{\frac{3R^2}{4}} =\frac{R\sqrt{3}}{2}. $$

Так как точка $$M$$ — середина хорды $$AB$$, то

$$ AB=2AM=2\cdot \frac{R\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}. $$

Теперь найдём сторону правильного треугольника, вписанного в эту окружность. Для правильного треугольника со стороной $$a$$ и радиусом описанной окружности $$R$$ имеем

$$ a=2R\sin 60^\circ=2R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}. $$

Следовательно, $$AB=R\sqrt{3}$$ равно стороне правильного вписанного треугольника.