Упр.13.17 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Хорда, перпендикулярная радиусу и проходящая через его середину, равна стороне правильного вписанного треугольника. Докажите.

Подробный ответ

Пусть $$AB$$ — хорда окружности с центром $$O$$, причём $$AB \perp OD$$ и точка $$M$$ — середина отрезка $$OD$$. Тогда $$OM=\frac{R}{2}$$, где $$R$$ — радиус окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOM$$. Так как $$OA=R$$, то по теореме Пифагора

$$AM=\sqrt{OA^2-OM^2} =\sqrt{R^2-\left(\frac{R}{2}\right)^2} =\sqrt{R^2-\frac{R^2}{4}} =\sqrt{\frac{3R^2}{4}} =\frac{R\sqrt{3}}{2}.$$

Треугольник $$AOB$$ равнобедренный, а отрезок $$OM$$, проведённый к середине хорды $$AB$$, является его высотой и медианой. Поэтому

$$AB=2AM=2\cdot \frac{R\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}.$$

Теперь найдём сторону правильного треугольника, вписанного в эту окружность. Для правильного треугольника со стороной $$a$$ и радиусом описанной окружности $$R$$ имеем

$$a=2R\sin 60^\circ=2R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}.$$

Следовательно, $$AB=R\sqrt{3}$$, то есть хорда, перпендикулярная радиусу и проходящая через его середину, равна стороне правильного вписанного треугольника.