Упр.11.17 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Прямая, параллельная стороне $$AB$$ треугольника $$ABC$$, делит его сторону $$AC$$ в отношении $$m:n$$, считая от вершины $$C$$. В каком отношении она делит сторону $$BC$$?

Пусть прямая, параллельная стороне $$AB$$, пересекает $$AC$$ в точке $$A_1$$, а $$BC$$ — в точке $$B_1$$. Тогда по условию

$$\frac{CA_1}{A_1A}=\frac{m}{n}.$$

Так как $$A_1B_1 \parallel AB$$, то

$$\angle CAB=\angle CA_1B_1$$

как соответственные углы при параллельных прямых и секущей $$AC$$. Кроме того,

$$\angle C$$ — общий угол треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C$$.

Следовательно, $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C$$ по двум углам. Значит,

$$\frac{CA}{CA_1}=\frac{CB}{CB_1}.$$

Так как $$CA=CA_1+A_1A$$, то

$$\frac{CA_1+A_1A}{CA_1}=\frac{CB_1+B_1B}{CB_1}.$$

Отсюда

$$1+\frac{A_1A}{CA_1}=1+\frac{B_1B}{CB_1},$$

то есть

$$\frac{A_1A}{CA_1}=\frac{B_1B}{CB_1}.$$

Но $$\frac{CA_1}{A_1A}=\frac{m}{n}$$, значит

$$\frac{CB_1}{B_1B}=\frac{CA_1}{A_1A}=\frac{m}{n}.$$

Следовательно, прямая делит сторону $$BC$$ в отношении $$m:n$$, считая от вершины $$C$$.

Ответ: $$m:n$$.