Вопрос 17 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что угол, вершина которого лежит внутри окружности, равен полусумме двух центральных углов, которым соответствуют дуги окружности, заключённые между сторонами данного угла и их продолжениями.

Пусть вершина $$B$$ угла $$ABC$$ лежит внутри окружности. Продолжим лучи $$BA$$ и $$BC$$ до пересечения с окружностью в точках $$K$$ и $$D$$ соответственно.

Тогда углы $$\angle BAD$$ и $$\angle ADB$$ — вписанные, поэтому

$$\angle BAD=\frac12\angle DOK,\qquad \angle ADB=\frac12\angle AOC.$$

Угол $$ABC$$ является внешним углом треугольника $$ABD$$, значит

$$\angle ABC=\angle BAD+\angle ADB.$$

Подставляя найденные выражения, получаем

$$\angle ABC=\frac12\angle DOK+\frac12\angle AOC=\frac12\left(\angle DOK+\angle AOC\right).$$

Следовательно, угол, вершина которого лежит внутри окружности, равен полусумме двух центральных углов, которым соответствуют дуги окружности, заключённые между сторонами данного угла и их продолжениями.