Упр.9.17 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является осью симметрии треугольника.

Пусть $$ABC$$ — равнобедренный треугольник с основанием $$AB$$, а $$CM$$ — его медиана, проведённая к основанию. Тогда $$AM=MB$$.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является одновременно биссектрисой и высотой. Значит,

$$\angle ACM=\angle MCB,\qquad CM\perp AB.$$

Из равенства $$AM=MB$$ и перпендикулярности $$CM\perp AB$$ следует, что точки $$A$$ и $$B$$ симметричны относительно прямой $$CM$$.

Кроме того, так как $$CM$$ — биссектриса угла $$C$$, то стороны $$CA$$ и $$CB$$ симметричны относительно этой прямой.

Следовательно, каждая точка треугольника $$ABC$$ переходит при симметрии относительно прямой $$CM$$ в точку того же треугольника. Значит, прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является осью симметрии треугольника.