Упр.15.16 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: расстояния от точки A до вершин квадрата со стороной b равны a;
Найти: расстояния от точки A до плоскости квадрата;
Решение:
1) Пусть MKNF-данный квадрат, тогда:
MK=KN=NF=FM=b и AM=AK=AN=AF=a;
2) Опустим из точки A перендикуляр AO на плоскость квадрата MKNF;
3) Прямоугольные треугольники AOM, AOK, AON, AOF равны по
гипотенузе и общему катету AO, отсюда следует равенство их вторых
катетов: MO=KO=NO=FO;
4) Таким образом, точка O равноудалена от вершин квадрата MKNF,
значит она является центром описанной около него окружности, найдем
ее радиус:
MO=R=b/(2•sin(180°)/4)=b/(2•sin40°)=b/2•2/v2=b/v2;
5) В прямоугольном треугольнике AOM по теореме Пифагора:
AO=v(AM^2-MO^2 )=v(a^2-b^2/2);
Ответ: v(a^2-b^2/2).

Подробный ответ

Пусть $$MKNF$$ — данный квадрат, тогда $$MK=KN=NF=FM=b$$, а по условию $$AM=AK=AN=AF=a$$.

Опустим из точки $$A$$ перпендикуляр $$AO$$ на плоскость квадрата $$MKNF$$. Тогда треугольники $$AOM$$, $$AOK$$, $$AON$$ и $$AOF$$ прямоугольные, у них общая гипотенуза $$AM=AK=AN=AF$$ и общий катет $$AO$$. Значит, они равны по гипотенузе и катету, откуда

$$MO=KO=NO=FO.$$

Следовательно, точка $$O$$ равноудалена от всех вершин квадрата, то есть является центром окружности, описанной около квадрата. Тогда

$$MO=R=\frac{b\sqrt{2}}{2}=\frac{b}{\sqrt{2}}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOM$$ по теореме Пифагора:

$$ AO^2=AM^2-MO^2 \\ AO^2=a^2-\left(\frac{b}{\sqrt{2}}\right)^2=a^2-\frac{b^2}{2}. $$

Значит,

$$AO=\sqrt{a^2-\frac{b^2}{2}}.$$