Упр.13.16 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 16. Найдите выражения для стороны аn правильного n-угольника через радиус R описанной около него окружности и радиус r вписанной окружности. Вычислите аn при n = 3, 4, 6. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 pogorelov7-9 13-16 76
Пусть $$a_n$$ — сторона правильного $$n$$-угольника.
Из формулы для хорды окружности, описанной около правильного многоугольника, получаем:
$$R=\frac{a_n}{2\sin\frac{180^\circ}{n}},$$
откуда
$$a_n=2R\sin\frac{180^\circ}{n}.$$
Для радиуса вписанной окружности имеем:
$$r=\frac{a_n}{2\tan\frac{180^\circ}{n}},$$
откуда
$$a_n=2r\tan\frac{180^\circ}{n}.$$
Теперь найдём $$a_n$$ при заданных значениях $$n$$.
1) Если $$n=3$$, то
$$a_3=2R\sin\frac{180^\circ}{3}=2R\sin60^\circ=2R\cdot\frac{\sqrt3}{2}=R\sqrt3,$$
$$a_3=2r\tan\frac{180^\circ}{3}=2r\tan60^\circ=2r\sqrt3.$$
2) Если $$n=4$$, то
$$a_4=2R\sin\frac{180^\circ}{4}=2R\sin45^\circ=2R\cdot\frac{\sqrt2}{2}=R\sqrt2,$$
$$a_4=2r\tan\frac{180^\circ}{4}=2r\tan45^\circ=2r.$$
3) Если $$n=6$$, то
$$a_6=2R\sin\frac{180^\circ}{6}=2R\sin30^\circ=2R\cdot\frac12=R,$$
$$a_6=2r\tan\frac{180^\circ}{6}=2r\tan30^\circ=2r\cdot\frac{1}{\sqrt3}=\frac{2r}{\sqrt3}.$$
Ответ
$$a_n=2R\sin\frac{180^\circ}{n},\qquad a_n=2r\tan\frac{180^\circ}{n}.$$
$$a_3=R\sqrt3=2r\sqrt3,\quad a_4=R\sqrt2=2r,\quad a_6=R=\frac{2r}{\sqrt3}.$$
