Вопрос 16 Параграф 6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что средняя линия треугольника равна половине соответствующей стороны.

Пусть в треугольнике $$ABC$$ точки $$D$$ и $$E$$ — середины сторон $$BC$$ и $$AC$$ соответственно. Тогда $$BD=DC$$ и $$AE=EC$$.

Проведём через точку $$D$$ прямую, параллельную стороне $$AB$$. По теореме Фалеса она пересечёт сторону $$AC$$ в её середине; обозначим эту точку через $$F$$. Тогда $$DF \parallel AB$$ и $$AF=FC$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$AEDF$$. В нём $$AE \parallel DF$$, так как обе прямые параллельны $$AB$$, а также $$ED \parallel AF$$, поскольку $$ED$$ — средняя линия треугольника и соединяет середины сторон. Значит, $$AEDF$$ — параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому

$$ED=AF.$$

Но $$AF=\dfrac{1}{2}AB$$, следовательно,

$$ED=\dfrac{1}{2}AB.$$

Итак, средняя линия треугольника равна половине соответствующей стороны.