Упр.5.16 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Из одной точки проведены две касательные к окружности (рис. 108). Докажите, что отрезки касательных $$MP$$ и $$MQ$$ равны.
- Докажите, что через одну точку не может проходить больше двух касательных к окружности.
Пусть из точки $$M$$ к окружности с центром $$O$$ проведены касательные $$MP$$ и $$MQ$$, точки касания — $$P$$ и $$Q$$.
Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то
$$OP \perp MP,\qquad OQ \perp MQ.$$
Следовательно, треугольники $$OPM$$ и $$OQM$$ прямоугольные. Кроме того,
$$OP=OQ$$
как радиусы одной окружности, а $$OM$$ — общая гипотенуза этих треугольников.
Значит, $$\triangle OPM \cong \triangle OQM$$ по гипотенузе и катету. Отсюда
$$MP=MQ.$$
Теперь докажем, что через одну точку не может проходить больше двух касательных к окружности.
Предположим противное: через точку $$M$$ проходят три касательные к окружности, касающиеся её в точках $$A$$, $$B$$ и $$C$$. Тогда по уже доказанному
$$MA=MB=MC.$$
Значит, точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на окружности с центром в точке $$M$$ и радиусом $$MA$$. Но две окружности не могут иметь более двух общих точек. Получаем противоречие.
Следовательно, через одну точку можно провести не более двух касательных к окружности.
Ответ
$$MP=MQ$$; через одну точку к окружности можно провести не более двух касательных.
