Упр.12.16 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 16. Объясните, как найти высоту х маяка (рис. 274) по углам альфа и бета и расстоянию а.

Рассмотрим треугольник $$ABD$$. Угол $$\angle BAD$$ смежный с углом $$\angle CAD$$, поэтому

$$\angle BAD=180^\circ-\alpha.$$

Сумма углов треугольника $$ABD$$ равна $$180^\circ$$, значит

$$\angle ADB=180^\circ-\angle BAD-\angle ABD.$$

Так как $$\angle ABD=\beta$$, то

$$\angle ADB=180^\circ-(180^\circ-\alpha)-\beta=\alpha-\beta.$$

По теореме синусов в треугольнике $$ABD$$:

$$\frac{AB}{\sin \angle ADB}=\frac{AD}{\sin \angle ABD}.$$

Отсюда

$$AD=\frac{AB\cdot \sin \angle ABD}{\sin \angle ADB}=\frac{a\sin \beta}{\sin(\alpha-\beta)}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACD$$. В нём

$$\sin \angle CAD=\frac{CD}{AD},$$

то есть

$$CD=AD\sin \alpha.$$

Подставим найденное значение $$AD$$:

$$x=CD=\frac{a\sin \beta}{\sin(\alpha-\beta)}\sin \alpha=\frac{a\sin \alpha \sin \beta}{\sin(\alpha-\beta)}.$$

Ответ

$$x=\frac{a\sin \alpha \sin \beta}{\sin(\alpha-\beta)}.$$