Упр.15.16 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Расстояния от точки $$A$$ до вершин квадрата равны $$a$$. Найдите расстояние от точки $$A$$ до плоскости квадрата, если сторона квадрата равна $$b$$.

Пусть $$MKNF$$ — данный квадрат, тогда $$MK=KN=NF=FM=b$$ и $$AM=AK=AN=AF=a$$.

Опустим из точки $$A$$ перпендикуляр $$AO$$ на плоскость квадрата $$MKNF$$. Тогда треугольники $$AOM$$, $$AOK$$, $$AON$$ и $$AOF$$ прямоугольные, у них общий катет $$AO$$ и равные гипотенузы $$AM=AK=AN=AF$$. Значит, их вторые катеты равны:

$$MO=KO=NO=FO.$$

Следовательно, точка $$O$$ равноудалена от всех вершин квадрата, то есть является центром описанной окружности. Тогда

$$MO=R=\frac{b}{\sqrt{2}}.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$AOM$$ по теореме Пифагора:

$$AO=\sqrt{AM^2-MO^2} =\sqrt{a^2-\left(\frac{b}{\sqrt{2}}\right)^2} =\sqrt{a^2-\frac{b^2}{2}}.$$

Ответ: $$\sqrt{a^2-\frac{b^2}{2}}$$.