Упр.3.16 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

I) Теорема, обратная утверждению задачи 12:
Если все углы треугольника равны, то такой треугольник равно-
сторонний;
II) Отобразим условие задачи:
Доказательство:
1) Пусть ABC-треугольник, у которого угол A = углу B = углу C;
2) У треугольника ABC: угол A = углу B, значит согласно теореме 3.4
он является равнобедренным с основанием AB, тогда AC=CB;
3) У треугольника BCA: угол B = углу C, значит согласно теореме 3.4
он является равнобедренным с основанием BC, тогда AC=AB;
4) Таким образом, AB=CB=AC, то есть треугольник ABC
является равносторонним, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Сформулируем теорему, обратную утверждению задачи 12:

если все углы треугольника равны, то такой треугольник равносторонний.

Докажем это.

Пусть в треугольнике $$ABC$$ выполнено $$\angle A=\angle B=\angle C$$.

Тогда из равенства углов $$\angle A=\angle B$$ следует, что треугольник $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$AB$$, значит

$$AC=BC.$$

Из равенства углов $$\angle B=\angle C$$ следует, что треугольник $$BCA$$ равнобедренный с основанием $$BC$$, значит

$$AB=AC.$$

Следовательно,

$$AB=BC=AC.$$

Значит, треугольник $$ABC$$ равносторонний.