Упр.11.16 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. В треугольник с основанием $$a$$ и высотой $$h$$ вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании треугольника, а другие две — на боковых сторонах. Вычислите сторону квадрата.

Обозначим сторону квадрата через $$x$$. Тогда его верхняя сторона параллельна основанию треугольника, а расстояние от вершины треугольника до этой стороны равно $$h-x$$.

Рассмотрим треугольники, образованные боковыми сторонами треугольника и сторонами квадрата. Они подобны исходному треугольнику, поэтому

$$\frac{x}{a}=\frac{h-x}{h}$$

Отсюда

$$hx=a(h-x)$$

$$hx=ah-ax$$

$$hx+ax=ah$$

$$x(a+h)=ah$$

$$x=\frac{ah}{a+h}$$

Ответ: $$\frac{ah}{a+h}$$.