Упр.9.16 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла $$O$$, является его осью симметрии.
Пусть дан угол с вершиной $$O$$ и его биссектриса $$OM$$. Возьмём на одной стороне угла произвольную точку $$A$$ и опустим из неё перпендикуляр $$AM$$ на прямую $$OM$$. Через точку $$M$$ проведём прямую, пересекающую вторую сторону угла в точке $$B$$.
Так как $$OM$$ — биссектриса угла, то $$\angle AOM=\angle MOB.$$ Кроме того, $$AM\perp OM,$$ значит $$\angle AMO=\angle BMO=90^\circ.$$
Следовательно, треугольники $$AOM$$ и $$BOM$$ равны по двум углам и общей стороне $$OM$$. Отсюда $$AM=MB.$$
Значит, точка $$M$$ — середина отрезка $$AB$$, а прямая $$OM$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$AB$$. Поэтому точки $$A$$ и $$B$$ симметричны относительно прямой $$OM$$.
Так как точка $$A$$ была выбрана произвольно, то любая точка одной стороны угла переходит при симметрии относительно прямой $$OM$$ в точку другой его стороны. Следовательно, прямая, содержащая биссектрису угла, является его осью симметрии.
