Упр.15.15 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: точка A находится на расстоянии a от вершин равностороннего
треугольника со стороной a;
Найти: расстояние от точки A до плоскости треугольника;
1) Пусть BCD-данный равносторонний треугольник, тогда:
AB=AC=AD=a;
2) Опустим из точки A перпендикуляр AO на плоскость BCD;
3) Прямоугольные треугольники AOB, AOC, AOD равны по гипотенузе
и общему катету AO, отсюда следует равенство их вторых катетов:
BO=CO=DO;
4) Таким образом, точка O равноудалена от вершин треугольника BCD,
значит она является центром описанной около него окружности;
5) Найдем радиус этой окружности:
BO=R=a/(2•sin(180°)/3)=a/(2•sin60°)=a/2•2/v3=a/v3;
6) В прямоугольном треугольнике AOB по теореме Пифагора:
AO=v(AB^2-BO^2 )=v(a^2-a^2/3)=v((2a^2)/3)=av(2/3);
Ответ: av(2/3).

Подробный ответ

Пусть $$BCD$$ — данный равносторонний треугольник, тогда $$AB=AC=AD=a$$.

Опустим из точки $$A$$ перпендикуляр $$AO$$ на плоскость $$BCD$$. Тогда треугольники $$AOB$$, $$AOC$$ и $$AOD$$ прямоугольные, причём

$$AB=AC=AD,\quad AO\text{ — общий катет}.$$

Следовательно, эти треугольники равны по гипотенузе и катету, значит

$$BO=CO=DO.$$

Итак, точка $$O$$ равноудалена от вершин треугольника $$BCD$$, то есть является центром описанной окружности. Тогда

$$BO=R=\frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{3}}=\frac{a}{2\sin 60^\circ}=\frac{a}{\sqrt{3}}.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$AOB$$ по теореме Пифагора:

$$ AO=\sqrt{AB^2-BO^2} =\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2} =\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}} =\sqrt{\frac{2a^2}{3}} =a\sqrt{\frac{2}{3}}. $$