Упр.14.15 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Разделить: данный треугольник на три равновеликие части прямыми,
проходящими через одну вершину;
Решение:
1) Пусть ABC-данный треугольник.
2) На луче AB от точки A построим произвольный угол в полуплоскость,
не содержащую точку C;
3) На второй стороне этого угла от точки A последовательно отложим
три равных отрезка AA1, A1 A2 и A2 A3 произвольной длины;
4) Проведем прямую A3 B и параллельные ей прямые, проходящие через
точки A1 и A2, отметим точки B1 и B2 на пересечении этих прямых с
прямой AB;
5) По теореме о пропорциональных отрезках: AB1=B1 B2=B2 B;
6) Треугольники ACB1, B1 CB2 и B2 CB имеют общую высоту, опущенную
из вершины C на прямую AB, следовательно их площади равны:
S(ACB1 )=S(B1 CB2 )=S(B2 CB)=1/2•1/3 AB•CH=1/3 SABC;
7) Прямые CB1 и CB2-искомые

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник.

На луче $$AB$$ от точки $$A$$ построим произвольный угол в полуплоскость, не содержащую точку $$C$$.

На второй стороне этого угла от точки $$A$$ последовательно отложим три равных отрезка $$AA_1$$, $$A_1A_2$$ и $$A_2A_3$$ произвольной длины.

Проведём прямую $$A_3B$$ и прямые, параллельные ей, через точки $$A_1$$ и $$A_2$$. Пусть они пересекают прямую $$AB$$ в точках $$B_1$$ и $$B_2$$ соответственно.

По теореме о пропорциональных отрезках получаем:

$$AB_1=B_1B_2=B_2B.$$

Треугольники $$ACB_1$$, $$B_1CB_2$$ и $$B_2CB$$ имеют общую высоту, опущенную из вершины $$C$$ на прямую $$AB$$. Их основания равны, значит, равны и площади:

$$S_{ACB_1}=S_{B_1CB_2}=S_{B_2CB}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}AB\cdot CH=\frac{1}{3}S_{ABC}.$$

Следовательно, прямые $$CB_1$$ и $$CB_2$$ делят данный треугольник на три равновеликие части.