Упр.5.15 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Через точку $$A$$ окружности с центром $$O$$ проведена прямая, не касающаяся окружности. $$OB$$ — перпендикуляр, опущенный на данную прямую. На продолжении отрезка $$AB$$ отложен отрезок $$BC$$, равный отрезку $$AB$$. Докажите, что точка $$C$$ лежит на окружности.
- Докажите, что если прямая имеет с окружностью только одну общую точку, то она является касательной к окружности в этой точке.
- Докажите, что если две окружности имеют только одну общую точку, то они касаются в этой точке.
1) Пусть окружность с центром $$O$$ проходит через точку $$A$$, а прямая через $$A$$ не является касательной. Из точки $$O$$ опущен перпендикуляр $$OB$$ на эту прямую, причём на продолжении отрезка $$AB$$ отложен отрезок $$BC$$, равный $$AB$$.
Рассмотрим треугольник $$AOC$$. Так как $$OB \perp AC$$, то $$OB$$ — высота этого треугольника. Кроме того, $$AB=BC$$, значит точка $$B$$ — середина отрезка $$AC$$, и $$OB$$ является медианой треугольника $$AOC$$.
В треугольнике $$AOC$$ высота и медиана, проведённые из одной вершины, совпадают. Следовательно, треугольник $$AOC$$ равнобедренный, то есть
$$AO=OC.$$
Но $$AO$$ — радиус окружности, значит и $$OC$$ равно радиусу. Следовательно, точка $$C$$ лежит на данной окружности.
2) Пусть прямая имеет с окружностью только одну общую точку $$A$$. Докажем, что она является касательной в этой точке.
Предположим противное: прямая не касательная. Тогда к ней из центра $$O$$ можно опустить перпендикуляр $$OB$$, а на продолжении отрезка $$AB$$ отложить отрезок $$BC=AB$$. По пункту 1 точка $$C$$ тоже лежит на окружности.
Получаем, что прямая имеет с окружностью как минимум две общие точки $$A$$ и $$C$$, что противоречит условию. Значит, наше предположение неверно, и прямая является касательной к окружности в точке $$A$$.
3) Пусть две окружности с центрами $$O$$ и $$O_1$$ имеют только одну общую точку $$A$$. Докажем, что они касаются в этой точке.
Предположим, что точки $$O$$, $$A$$ и $$O_1$$ не лежат на одной прямой. Тогда можно построить точку $$A_1$$, симметричную точке $$A$$ относительно прямой $$OO_1$$. В треугольниках $$OAO_1$$ и $$OA_1O_1$$ имеем:
- $$OA=OA_1$$,
- $$O_1A=O_1A_1$$,
- $$OO_1$$ — общая сторона.
Следовательно, эти треугольники равны, значит точка $$A_1$$ лежит и на первой, и на второй окружности. Это противоречит тому, что общая точка только одна.
Значит, точки $$O$$, $$A$$ и $$O_1$$ лежат на одной прямой. Тогда общая касательная к обеим окружностям в точке $$A$$ перпендикулярна прямой $$OO_1$$, а значит окружности касаются в точке $$A$$.
