Вопрос 15 Параграф 8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

cos(180°- альфа) = -cos альфа, ctg(180°- альфа) = -ctg альфа.

Подробный ответ

Рассмотрим окружность с центром в начале координат и радиусом $$R$$. Пусть точке $$A(x;y)$$ соответствует угол $$\alpha$$, а точке $$A_1(x_1;y_1)$$ — угол $$180^\circ-\alpha$$.

Опустим из точек $$A$$ и $$A_1$$ перпендикуляры на ось $$x$$ в точки $$B$$ и $$B_1$$ соответственно. Тогда

$$\angle AOB=\alpha,\qquad \angle A_1OB_1=180^\circ-\alpha.$$

Треугольники $$AOB$$ и $$A_1OB_1$$ равны по гипотенузе и острому углу, значит,

$$AB=A_1B_1,\qquad OB=OB_1.$$

Отсюда следует, что

$$y=y_1,\qquad x=-x_1.$$

Теперь найдём значения тригонометрических функций:

$$\sin(180^\circ-\alpha)=\frac{y_1}{R}=\frac{y}{R}=\sin\alpha,$$

$$\cos(180^\circ-\alpha)=\frac{x_1}{R}=-\frac{x}{R}=-\cos\alpha,$$

$$\ctg(180^\circ-\alpha)=\frac{\cos(180^\circ-\alpha)}{\sin(180^\circ-\alpha)}=-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=-\ctg\alpha.$$

Следовательно, для любого угла $$\alpha$$, где $$0^\circ<\alpha<180^\circ$$, выполняются равенства:

$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha,\qquad \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha,\qquad \ctg(180^\circ-\alpha)=-\ctg\alpha.$$