Упр.15.15 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Точка А находится на расстоянии $$a$$ от вершин равностороннего треугольника со стороной $$a$$. Найдите расстояние от точки А до плоскости треугольника.
Пусть $$BCD$$ — данный равносторонний треугольник, тогда $$AB=AC=AD=a$$. Опустим из точки $$A$$ перпендикуляр $$AO$$ на плоскость $$BCD$$.
Треугольники $$AOB$$, $$AOC$$ и $$AOD$$ прямоугольные, у них общий катет $$AO$$ и равные гипотенузы $$AB=AC=AD$$. Значит, они равны по гипотенузе и катету, поэтому
$$BO=CO=DO.$$
Следовательно, точка $$O$$ равноудалена от вершин треугольника $$BCD$$, то есть является центром описанной около него окружности. Тогда радиус этой окружности равен
$$BO=R=\frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{3}}=\frac{a}{2\sin60^\circ}=\frac{a}{2\cdot \frac{\sqrt3}{2}}=\frac{a}{\sqrt3}.$$
Теперь в прямоугольном треугольнике $$AOB$$ по теореме Пифагора:
$$AO=\sqrt{AB^2-BO^2} =\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{\sqrt3}\right)^2} =\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}} =\sqrt{\frac{2a^2}{3}} =a\sqrt{\frac23}.$$
Ответ: $$a\sqrt{\frac23}$$.
