Упр.14.15 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Разделите данный треугольник на три равновеликие части прямыми, проходящими через одну вершину.
Пусть $$ABC$$ — данный треугольник.
На луче $$AB$$ от точки $$A$$ построим произвольный угол в полуплоскость, не содержащую точку $$C$$.
На второй стороне этого угла от точки $$A$$ последовательно отложим три равных отрезка $$AA_1$$, $$A_1A_2$$ и $$A_2A_3$$ произвольной длины.
Проведём прямую $$A_3B$$ и прямые, параллельные ей, через точки $$A_1$$ и $$A_2$$. Пусть они пересекают прямую $$AB$$ в точках $$B_1$$ и $$B_2$$ соответственно.
По теореме о пропорциональных отрезках получаем:
$$AB_1=B_1B_2=B_2B.$$
Треугольники $$ACB_1$$, $$B_1CB_2$$ и $$B_2CB$$ имеют общую высоту, опущенную из вершины $$C$$ на прямую $$AB$$. Поэтому их площади относятся как соответствующие основания:
$$S_{ACB_1}:S_{B_1CB_2}:S_{B_2CB}=AB_1:B_1B_2:B_2B=1:1:1.$$
Следовательно,
$$S_{ACB_1}=S_{B_1CB_2}=S_{B_2CB}=\frac13S_{ABC}.$$
Значит, прямые $$CB_1$$ и $$CB_2$$ делят данный треугольник на три равновеликие части и проходят через одну вершину $$C$$.
