Упр.13.15 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что середины сторон правильного $$n$$-угольника являются вершинами другого правильного $$n$$-угольника.

Пусть $$A_1A_2A_3\dots A_n$$ — данный правильный $$n$$-угольник. Обозначим через $$B_1,B_2,\dots,B_n$$ середины его сторон $$A_1A_2,\ A_2A_3,\dots,\ A_nA_1$$.

Соединим точки $$B_1,B_2,\dots,B_n$$. Так как сторон у исходного многоугольника $$n$$, то получим тоже $$n$$-угольник.

Рассмотрим треугольники $$B_1A_2B_2$$, $$B_2A_3B_3$$ и $$B_3A_4B_4$$. В правильном многоугольнике все стороны равны, а все углы равны, поэтому

$$A_2A_3=A_3A_4,$$
$$\angle A_2=\angle A_3=\angle A_4,$$
$$B_1A_2=A_2B_2,\quad B_2A_3=A_3B_3,\quad B_3A_4=A_4B_4.$$

Следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$B_1B_2=B_2B_3=B_3B_4.$$

Теперь сравним углы между соседними сторонами полученного многоугольника:

$$\angle B_1B_2B_3=180^\circ-\angle B_1B_2A_2-\angle A_3B_2B_3,$$
$$\angle B_2B_3B_4=180^\circ-\angle B_2B_3A_3-\angle A_4B_3B_4.$$

Так как соответствующие треугольники равны, то

$$\angle B_1B_2A_2=\angle B_2B_3A_3,\qquad \angle A_3B_2B_3=\angle A_4B_3B_4.$$

Значит,

$$\angle B_1B_2B_3=\angle B_2B_3B_4.$$

Аналогично доказывается, что все стороны многоугольника $$B_1B_2\dots B_n$$ равны и все его углы равны. Следовательно, этот многоугольник правильный.

Ответ: середины сторон правильного $$n$$-угольника являются вершинами другого правильного $$n$$-угольника.