Вопрос 15 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что правильные выпуклые $$n$$-угольники подобны. В частности, если у них стороны одинаковы, то они равны.
Пусть $$P_1=A_1A_2\dots A_n$$ и $$P_2=B_1B_2\dots B_n$$ — правильные выпуклые $$n$$-угольники.
Сначала докажем, что если их стороны равны, то многоугольники равны.
Рассмотрим треугольники $$A_1A_2A_3$$ и $$B_1B_2B_3$$. У них
$$A_1A_2=B_1B_2,\qquad A_2A_3=B_2B_3,$$
а также
$$\angle A_1A_2A_3=\angle B_1B_2B_3,$$
так как все углы правильных многоугольников равны. Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.
Подвергнем $$P_1$$ движению, при котором точки $$A_1,\ A_2,\ A_3$$ переходят соответственно в $$B_1,\ B_2,\ B_3$$. Такое движение существует, потому что соответствующие треугольники равны.
Тогда вершина $$A_4$$ перейдет в некоторую точку $$C$$. Так как движение сохраняет расстояния и углы, то
$$B_2C=A_2A_4,\qquad \angle B_2B_3C=\angle A_2A_3A_4.$$
Но в правильных многоугольниках
$$A_2A_4=A_2A_3=A_3A_4=B_2B_3=B_3B_4,$$
а значит, точка $$C$$ совпадает с точкой $$B_4$$. Следовательно, $$A_4$$ переходит в $$B_4$$.
Аналогично получаем, что $$A_5$$ переходит в $$B_5$$, $$A_6$$ — в $$B_6$$ и так далее. Значит, $$P_1$$ совмещается с $$P_2$$ движением, то есть эти правильные $$n$$-угольники равны.
Теперь докажем, что любые два правильных выпуклых $$n$$-угольника подобны. Возьмем $$P_1$$ и выполним преобразование подобия, например гомотетию, с коэффициентом
$$k=\frac{B_1B_2}{A_1A_2}.$$
После этого получим правильный $$n$$-угольник $$P’$$, у которого сторона равна стороне $$P_2$$. По уже доказанному, $$P’$$ и $$P_2$$ равны. Следовательно, $$P_1$$ и $$P_2$$ подобны.
Итак, правильные выпуклые $$n$$-угольники подобны, а если их стороны равны, то они равны.
