Упр.12.15 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Объясните, как найти расстояние от точки $$A$$ до недоступной точки $$B$$ (рис. 273), зная расстояние $$AC$$ и углы $$\alpha$$ и $$\beta$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$, в котором известны сторона $$AC$$ и углы $$\angle A=\alpha$$, $$\angle C=\beta$$.

Найдём сначала третий угол треугольника:

$$\angle B=180^\circ-(\alpha+\beta).$$

По теореме синусов имеем:

$$\frac{AB}{\sin \angle C}=\frac{AC}{\sin \angle B}.$$

Тогда

$$AB=\frac{AC\cdot \sin \angle C}{\sin \angle B}=\frac{AC\cdot \sin \beta}{\sin\bigl(180^\circ-(\alpha+\beta)\bigr)}.$$

Так как $$\sin\bigl(180^\circ-x\bigr)=\sin x$$, получаем:

$$AB=\frac{AC\cdot \sin \beta}{\sin(\alpha+\beta)}.$$

Ответ: $$AB=\frac{AC\cdot \sin \beta}{\sin(\alpha+\beta)}$$.