Упр.9.15 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: точка X при симметрии относительно некторой прямой переходит
в точку X’;
Построить: точку, в которую при этой симметрии переходит точка Y;
Построение:
1) Пусть X, X’ и Y-данные точки.
2) Построим серединный перпендикуляр отрезка отрезка XX’, для этого:
— Из точек X и X’ проведем окружности равного радиуса XX’;
— Проведем прямую a через точки пересечения этих окружностей, эта
прямая является серединным перпендикуляром отрезка XX’;
— Отметим точку O на пересечении прямой a и отрезка XX’;
3) Прямая a является осью симметрии (так как точки X, O и X’ лежат на
одной прямой, перпендикулярной к ней и OX=OX’);
4) Проведем через какие-нибудь две точки прямой a окружности,
проходящие через точку Y и отметим точку Y’ на втором пересечении
этих окружностей;
5) YY’-общая хорда двух окружностей, через которую проходит
прямая a содержащая их центры, значит прямая a пепрендикулярна
отрезку YY’ и делит его пополам;
6) Таким образом, точки Y и Y’ симметрична относительно прямой a.

Подробный ответ

Пусть при симметрии относительно некоторой прямой точка $$X$$ переходит в точку $$X’$$. Тогда ось симметрии проходит через середину отрезка $$XX’$$ и перпендикулярна ему.

Построим серединный перпендикуляр к отрезку $$XX’$$. Для этого из точек $$X$$ и $$X’$$ проведём окружности равного радиуса $$XX’$$. Прямая, проходящая через точки их пересечения, и будет серединным перпендикуляром к $$XX’$$. Обозначим её через $$a$$.

Прямая $$a$$ является осью симметрии, так как точки $$X$$ и $$X’$$ симметричны относительно неё.

Теперь через точку $$Y$$ построим её отражение относительно прямой $$a$$. Для этого проведём окружность с центром в любой точке прямой $$a$$, лежащей на одинаковом расстоянии от $$Y$$ и искомой точки $$Y’$$, и отметим вторую точку пересечения этой окружности с окружностью того же радиуса, проведённой из другой точки прямой $$a$$. Полученная точка $$Y’$$ будет искомой.

Действительно, если точка $$Y’$$ построена так, что прямая $$a$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$YY’$$, то $$Y$$ и $$Y’$$ симметричны относительно прямой $$a$$.

Следовательно, точка, в которую при данной симметрии переходит точка $$Y$$, — это точка $$Y’$$, симметричная точке $$Y$$ относительно прямой $$a$$.