Упр.7.15 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 15. Даны отрезки а и b. Как построить отрезок х= корень аb?

Пусть даны отрезки $$a$$ и $$b$$, а также единичный отрезок $$\delta$$.

1) На одной стороне произвольного угла $$O$$ отложим $$OA=a$$, а на другой стороне — отрезки $$OO_1=\delta$$ и $$OB=b$$.

2) Через точку $$B$$ проведём прямую, параллельную $$AO_1$$, и обозначим точку её пересечения с первой стороной угла через $$Y$$.

По теореме о пропорциональных отрезках:

$$\frac{OY}{OA}=\frac{OB}{OO_1}$$

откуда

$$OY=\frac{OB\cdot OA}{OO_1}=\frac{ab}{\delta}.$$

3) На произвольной прямой последовательно отложим отрезки $$AX=OY$$ и $$XB=\delta$$.

4) Построим перпендикуляр к прямой $$AB$$ в точке $$X$$ и отметим точку $$D$$ пересечения этого перпендикуляра с полуокружностью с диаметром $$AB$$.

Треугольник $$ABD$$ прямоугольный, так как угол $$ADB$$ опирается на диаметр окружности.

5) В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу. Поэтому

$$XD^2=AX\cdot XB.$$

Тогда

$$XD=\sqrt{AX\cdot XB}=\sqrt{\frac{ab}{\delta}\cdot \delta}=\sqrt{ab}.$$

Следовательно, искомый отрезок $$x=\sqrt{ab}$$ построен.

Ответ

Построить отрезок $$x$$ как высоту $$XD$$ в прямоугольном треугольнике с проекциями катетов $$AX=OY=\dfrac{ab}{\delta}$$ и $$XB=\delta$$; тогда $$x=XD=\sqrt{ab}$$.