Упр.8.15 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Даны три вершины параллелограмма $$ABCD$$: $$A(1; 0)$$, $$B(2; 3)$$, $$C(3; 2)$$. Найдите координаты четвёртой вершины $$D$$ и точки пересечения его диагоналей.

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма. По свойству параллелограмма диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит $$O$$ — середина отрезков $$AC$$ и $$BD$$.

Найдём координаты точки $$O$$ как середины отрезка $$AC$$:

$$x_O=\frac{1+3}{2}=2,\qquad y_O=\frac{0+2}{2}=1.$$

Следовательно, $$O(2;1).$$

Теперь используем то, что $$O$$ — середина отрезка $$BD$$. Пусть $$D(x;y)$$. Тогда

$$2=\frac{2+x}{2},\qquad 1=\frac{3+y}{2}.$$

Из первого уравнения получаем:

$$4=2+x,\qquad x=2.$$

Из второго уравнения:

$$2=3+y,\qquad y=-1.$$

Значит, $$D(2;-1).$$

Ответ: $$D(2;-1),\ O(2;1).$$