Вопрос 15 Параграф 8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что для любого угла $$\alpha$$, $$0^\circ < \alpha < 180^\circ$$: $$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha,$$ $$\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha,$$ $$\operatorname{ctg}(180^\circ-\alpha)=-\operatorname{ctg}\alpha.$$

Рассмотрим окружность с центром в начале координат и радиусом $$R$$. Пусть точке $$A(x;y)$$ соответствует угол $$\alpha$$, а точке $$A_1(x_1;y_1)$$ — угол $$180^\circ-\alpha$$.

Тогда из симметрии относительно оси $$Oy$$ получаем:

$$y_1=y,\qquad x_1=-x.$$

Следовательно,

$$\sin(180^\circ-\alpha)=\frac{y_1}{R}=\frac{y}{R}=\sin\alpha,$$

$$\cos(180^\circ-\alpha)=\frac{x_1}{R}=\frac{-x}{R}=-\cos\alpha.$$

Теперь найдём котангенс:

$$\ctg(180^\circ-\alpha)=\frac{\cos(180^\circ-\alpha)}{\sin(180^\circ-\alpha)}=\frac{-\cos\alpha}{\sin\alpha}=-\ctg\alpha.$$

Итак, для любого угла $$\alpha$$, где $$0^\circ<\alpha<180^\circ$$, справедливо:

$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha,\qquad \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha,\qquad \ctg(180^\circ-\alpha)=-\ctg\alpha.$$