Упр.4.15 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: один из углов, которые образуются при пересечении двух
параллельных прямых секущей, равен 72°;
Найти: остальные семь углов;
Решение:
1) Пронумеруем эти углы как показано на рисунке, тогда угол 1=72°;
2) угол 2 = углу 1 и угол 3 = углу 4 (как вертикальные);
3) угол 4 = углу 1 (как накрест лежащие углы при параллельных прямых и
секущей);
4) Следовательно угол 1 = углу 2 = углу 3 = углу 4=72°;
5) угол 1+ угол 6=180° (как внутренние односторонние углы при парал-
лельных прямых и секущей), тогда угол 6=180°- угол 1=108°;
6) угол 5 = углу 6 и угол 7 = углу 8 (как вертикальные);
7) угол 7 = углу 8 (как накрест лежащие углы при параллельных прямых и
секущей);
8) Следовательно угол 5 = углу 6 = углу 7 = углу 8=108°;
Ответ: 72° и 108°.

Подробный ответ

Обозначим данный угол как $$\angle 1=72^\circ$$.

Тогда $$\angle 2=\angle 1$$ и $$\angle 3=\angle 4$$ как вертикальные углы. Кроме того, $$\angle 4=\angle 1$$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей.

Следовательно,

$$\angle 1=\angle 2=\angle 3=\angle 4=72^\circ.$$

Смежные углы в сумме дают $$180^\circ$$, значит

$$\angle 1+\angle 6=180^\circ,$$

откуда

$$\angle 6=180^\circ-72^\circ=108^\circ.$$

Так как $$\angle 5=\angle 6$$ и $$\angle 7=\angle 8$$ как вертикальные, а также $$\angle 7=\angle 8$$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей, то

$$\angle 5=\angle 6=\angle 7=\angle 8=108^\circ.$$

Итак, остальные семь углов равны $$72^\circ$$ или $$108^\circ$$.